O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor múltiplo compartilhado por dois ou mais números. Por exemplo, para os números 2 e 5, o menor múltiplo comum é 10 – porque 10 é o número pelo qual ambos os números podem se multiplicar sem deixar resto.
Por exemplo:
10 é um múltiplo comum de 5 e 2 porque 10 cabe em 5 duas vezes e 2 cabe em 10 cinco vezes. Nesse caso, 10 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 2.
Podemos encontrar o MMC usando uma variedade de métodos.
Como encontrar o mínimo múltiplo comum:
O método de listagem
Vamos usar o mesmo exemplo – queremos encontrar o menor múltiplo comum de 5 e 2.
Podemos resolver o cálculo listando os múltiplos desses dois números:
Múltiplos comuns de 2 : 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14, 16, 18, 20…..
Múltiplos comuns de 5 = 5, 10 , 15, 20, 25…
Ao fazermos isso, podemos ver que o primeiro e menor múltiplo comum de 2 e 5 é 10 .
Fatores primos e o método do diagrama de Venn
Alternativamente, podemos encontrar o mínimo múltiplo comum usando fatores primos e diagramas de Venn. Usar diagramas de Venn para encontrar o MMC de um conjunto de números é uma ótima opção para quem aprende visualmente. Os diagramas de Venn expõem claramente os elementos comuns e as interseções entre dois ou mais números.
Como exemplo, vamos usar os números 24 e 60.
Primeiro, encontramos os fatores primos de cada número usando uma árvore de fatores:
24: 3 × 2 × 2 × 2 60: 5 × 3 × 2 × 2
Passo 1: O primeiro passo para encontrar o mínimo múltiplo comum usando diagramas de Venn é distribuir fatores primos de cada um de seus números entre um conjunto de círculos sobrepostos (devemos ter um círculo por número em seu conjunto). Dessa forma podemos ver os elementos comuns entre eles.
Rotule a oval esquerda 24 e a oval direita 60. Os fatores primos de 24 irão para a oval esquerda, os fatores primos de 60 irão para a oval direita e os fatores primos de ambos irão para o meio. Risque cada fator primo à medida que avança.
Etapa 2: Depois de concluir o diagrama de Venn, pode encontrar facilmente o mínimo múltiplo comum encontrando a união dos elementos mostrados nos grupos de diagramas e multiplicando-os.
24: 3 × 2 × 2 × 2 60: 5 × 3 × 2 × 2
Começando com os fatores primos de 24:
3 : O 3 está em ambas as listas. Escreva 3 no centro e risque-o em ambas as listas.
2 : O primeiro 2 está em ambas as listas. Escreva 2 no centro e risque em ambas as listas.
2 : O segundo 2 está em ambas as listas. Escreva 2 no centro e risque em ambas as listas.
2 : O terceiro 2 é apenas um fator primo de 24 – todos os fatores primos 2 em 60 foram riscados. Escreva 2 no oval esquerdo e risque-o.
Em seguida, passamos para os fatores primos de 60:
5 : Este é o único fator primo não riscado. 24 não tem fator primo 5, então coloque-o na oval direita e risque-o.
Para finalizar, para encontrarmos o mínimo múltiplo comum, multiplicamos cada número no diagrama de Venn:
MMC = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.
Portanto, o MMC de 24 e 60 é 120. Também podemos usar este método para encontrar o máximo divisor comum (MDC) multiplicando os números na sobreposição do diagrama de Venn.
O Método do Bolo (Método da Escada)
O método da escada usa a divisão para encontrar o MMC de um conjunto de números. É um método bastante popular, pois é rápido e fácil de realizar.
Passo 1: O primeiro passo para usar o método da escada é anotar os seus números numa linha. Como exemplo, vamos usar os números 10, 16, 24 e 85. A nossa primeira camada ficará assim:
10 16 24 85
Passo 2: O próximo passo neste método é dividir os números por um número primo que seja igualmente divisível em dois ou mais números na camada. Os resultados desta divisão devem ser escritos numa camada abaixo dos seus números originais.
Para esses números, podemos dividir por 2.
2 10 16 24 85
5 8 12
Se algum número na camada não for divisível, basta reduzir esse número.
2 10 16 24 85
5 8 12 85
Passo 3: O próximo passo é continuar dividindo as camadas por números primos. Quando não houver mais números primos divididos igualmente em dois ou mais números, estará tudo pronto.
| 2 | 10 | 16 | 24 | 85 |
| 2 | 5 | 8 | 12 | 85 |
| 5 | 5 | 4 | 6 | 85 |
| 2 | 1 | 4 | 6 | 17 |
| 1 | 2 | 3 | 17 |
Passo 4: O MMC deste conjunto de números é o produto dos números na coluna da extrema esquerda e na linha inferior. O 1 é ignorado. Portanto, devemos multiplicar esses números juntamente:
Mínimo Múltiplo Comum = 2 × 2 × 2 × 5 × 2 × 3 × 17
Mínimo Múltiplo Comum de 10, 16, 24 e 85 = 4080
O método da divisão
Encontrar o MMC usando o método da divisão é bem simples.
Etapa 1: Escreva o seu conjunto de números numa linha superior da mesa, semelhante ás camadas realizadas no método acima. Para este exemplo, usaremos os números 6, 15 e 22.
6 15 22
Etapa 2: Devemos começar com os números primos mais baixos e dividir o seu conjunto de números por um número primo que seja divisível em pelo menos um dos seus números. Em seguida, coloque o resultado para a próxima linha.
2 6 15 22
3 15 11
Se algum número na linha não for divisível, apenas reduza o número como está.
Etapa 3: Continue dividindo as suas linhas por números primos que dividem uniformemente em pelo menos um número. Quando a última linha de números for toda 1, terminou.
| 2 | 6 | 15 | 22 |
| 3 | 3 | 15 | 11 |
| 5 | 1 | 5 | 11 |
| 11 | 1 | 1 | 11 |
| 1 | 1 | 1 |
Passo 4: O MMC é o produto dos números primos na primeira coluna. Isso significa que:
Mínimo Múltiplo Comum = 2 × 3 × 5 × 11
Mínimo Múltiplo Comum de 6, 15 e 22 = 330
Como encontrar o menor múltiplo comum de números decimais
O processo para encontrar o mínimo múltiplo comum de um conjunto de números muda ligeiramente quando os decimais estão presentes. Abaixo mostramos alguns passos simples que pode realizar para encontrar o MMC de números decimais:
Identifique o número com mais casas decimais.
Conte o número de casas decimais desse número. Digamos que existam 8 casas decimais.
Para cada um dos números em seu conjunto, mova o decimal 8 casas para a direita. Todos os números se tornarão inteiros.
Encontre o MMC desse conjunto de números inteiros.
Para o mínimo múltiplo comum, mova a 8 casas decimais para a esquerda. Este é o menor múltiplo comum para o conjunto original de números decimais.
Como encontrar o MMC de frações
Ao compararmos ou calcularmos frações, encontrar o mínimo múltiplo comum pode parecer complicado no começo. Isso ocorre porque o método de encontrar o MMC de frações difere do método usual que usaríamos para encontrar o mínimo múltiplo comum de números inteiros.
Para identificarmos o MMC das frações, devemos encontrar o menor número que pode ser totalmente dividido por ambas as frações sem deixar resto.
Vejamos um exemplo, usando as frações ¼ e ½:
O menor número ou fração que pode ser dividido igualmente por ½ e ¼ sem nenhum resto é ½ . Em outras palavras, ½ é o menor múltiplo de ½ e ¼. Portanto, o MMC de ¼ e ½ é ½.
Quando estamos a tentar encontrar o MMC das frações, se os denominadores forem iguais é simples, pois só precisamos encontrar o MMC dos numeradores das frações (os números acima da linha). Se as frações tiverem denominadores diferentes, podemos tornar mais fácil compará-las, transformanda-os em frações equivalentes com denominadores iguais. Para fazermos isso, devemos identificar o mínimo múltiplo comum dos denominadores originais.
Usando o mesmo exemplo acima:
Para que ½ tenha o mesmo denominador de ¼, vamos convertê-lo multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número (neste caso, 2) para nos dar uma fração de 2/4. Se pegarmos esse novo par de frações, 2/4 e ¼, porque seus denominadores agora são iguais, só precisamos calcular o MMC dos numeradores, que é 2. O denominador permanece o mesmo. O MMC dessas frações é, portanto, 2/4. Se simplificarmos 2/4 na sua forma mais simples, obteremos ½.
Outra maneira útil de aprender a encontrar o MMC de frações é convertendo-as primeiro em seus números decimais equivalentes.
Novamente, usando o exemplo acima:
½ = 0,5
¼ = 0,25
Usando as mesmas regras de antes, o menor número em que ambos os números decimais podem ser divididos sem deixar resto é 0,5, o que significa que 0,5 é o MMC de 0,5 e 0,25. Se convertermos 0,5 de volta em uma fração, obteremos a resposta equivalente, ½ .
Os primeiros 10 múltiplos dos inteiros de 1 a 10
Para entender melhor como encontrar os mínimos múltiplos comuns de algum número, é importante conhecer os múltiplos de números usados com mais frequência. Abaixo listamos alguns:
- Múltiplos de 1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
- Múltiplos de 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
- Múltiplos de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
- Múltiplos de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
- Múltiplos de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
- Múltiplos de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
- Múltiplos de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
- Múltiplos de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
- Múltiplos de 9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
- Múltiplos de 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Lista de MMC de 1 a 200
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